При обновлении страницы или переходе на другую, секунды полностью сбиваются в ноль, и начинают отчёт сначала. (с нуля)
Да. Хотя и можно профиксить этот баг, но зачем усложнять? Тогда уже будут настоящие часы, с объектом Date. Здесь же смысл в том что время не узнается как таковое, а просто считывается строка и прибавляется по секунде, типа таймера.